Необходимое условие локального экстремума

Если функция $f(\mathbf{x})$ в точке локального экстремума $\mathbf{x}^0$ имеет частные производные $f'_{x_k}$ по всем переменным, то $f'_{x_k}(\mathbf{x}^0) = 0 \quad \forall k = 1,\dots,m$. Равносильные условия: $\text{grad} f(\mathbf{x}^0) = 0$ или $df(\mathbf{x}^0) = 0$.

Рассмотрим функцию $g(x_k) = f(x_1^0,\dots,x_k,\dots,x_m^0)$. По условию $x_k^0$ - точка локального экстремума. По теореме Ферма $$f'_{x_k}(\mathbf{x}^0) = g'(x_k^0) = 0 \quad \forall k = 1,\dots,m$$ $\square$